La trigonometría

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilonica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

¿Cuáles son las aplicaciones de la vida real en la trigonometría?

Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los triángulos. Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación, ingeniería, topografía, la geografía y muchos otros campos. Precisamente, la trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de triángulos, círculos, ondas y oscilaciones.

Trigonometría y Arquitectura

No se puede separar la arquitectura de la trigonometría, que es fundamental para curvar las superficies de los materiales de construcción, como el acero y el vidrio. La ciencia se utiliza para encontrar las alturas de los edificios, o crear objetos tridimensionales a utilizar en los edificios. La trigonometría se utiliza para hacer las demarcaciones de cubículos en un edificio de oficinas. Es útil en el diseño de un edificio para predeterminar los patrones geométricos y la cantidad de material y mano de obra necesaria para erigir una estructura. Cuando el edificio se erige, no sólo será fuerte, tendrá mediciones precisas.

Imagen Digital

La misma ciencia se utiliza en la industria de la música. El sonido viaja en ondas que se utilizan en el desarrollo de la música generada por el ordenador. Un equipo no va a entender la música como un ser humano, sino que la representa matemáticamente por las ondas sonoras que la constituyen. Precisamente, los ingenieros de sonido que trabajan en la promoción de música computarizada y de alta tecnología, tienen que aplicar la ley fundamental de la trigonometría: la función del seno y coseno. Los patrones de las ondas musicales no son tan regulares como la función del seno y coseno, pero aún es útil para el desarrollo de música computarizada.

Navegación, Geografía y Astronomía

La triangulación, que es una aplicación de la trigonometría, es utilizada por los astrónomos para calcular la distancia a las estrellas cercanas. En geografía, se utiliza para medir la distancia entre puntos de referencia. También se utiliza en los sistemas de navegación por satélite.

IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE ÁNGULOS

Desde la antigüedad la rueda ha tenido infinidad de usos y aplicaciones, la utilización de dicho instrumento ha creado la necesidad de medir su longitud pero también se ha tenido la necesidad de dividir dicho cuerpo en muchas partes, incluso exactas. A lo largo de la historia, la medición de circunferencias ha sido una necesidad para crear instrumentos de trabajo, máquinas, construcciones y muchos más objetos que facilitan el trabajo del hombre.
La medición de ángulos ha sido de gran ayuda para el hombre, desde crear un simple engrane que formará parte de una máquina hasta crear incluso un rascacielos. Es en arquitectura y diseño donde se han planteado mediciones más precisas, donde el objetivo es conseguir la exactitud de estas; es también en estas áreas donde se han creado dos patrones de medición, los cuales son el grado (°) y el radián (π). Una circunferencia medida en grados esta dada por 360 unidades, mientras que medida en radianes es equivalente a 6.2832 unidades aproximadamente, ya que el radián comprende la longitud de dos radios en una circunferencia que forman un ángulo y el arco de dicho ángulo, el cual debe tener la misma longitud del radio. 
La medición de ángulos tiene aplicación en varias áreas de trabajo como el diseño, la confección, técnicas mecánicas, construcción y muchas más. No solo la geometría utiliza la medición de dichos cuerpos, también hay ciencias independientes como la física que la utiliza en suma de vectores, por mencionar un ejemplo.

Ángulos

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplos de aplicación de las razones trigonométricas

En esta página conoceremos algunas situaciones en las cuales se ve la aplicación de las razones trigonométricas en la vida cotidiana:
EJEMPLO Nº 1: 

Una avioneta parte de Buenaventura a Pasto recorriendo 300km. y luego se dirige a Mitú, la cual está a 750 km. ¿Qué distancia hay de Mitú a Buenaventura?.

Se observa que la ruta que sigue la avioneta describe un triángulo rectángulo. (Se ignorará la curvatura de la Tierra)

                                                   Los datos que se tienen del triángulo son:

Se puede observar que:
a) Se desconocen tres elementos del triángulo,
b) Al hallar la longitud del lado p, se dará respuesta a la pregunta planteada en el problema, esto se puede hacer por el Teorema de Pitágoras. Así:
 

Así se completa la información de los seis elementos del triángulo rectángulo que se forma en el enunciado del problema.

EJEMPLO Nº 2:

Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Solución:

Se tienen los siguientes datos:

a. El ángulo de la base del triángulo es 30º puesto que la linea horizontal y el suelo son paralelos.
b. La altura del faro es de 7m y representa el cateto opuesto del triángulo que se forma.
c. x es el valor desconocido que corresponde a la distancia desde la cima del faro hasta el barco.

Por lo tanto:

 Respuesta: La distancia desde la cima del faro hasta el barco es de 14 m.

Aplicación de las funciones trigonométricas

LA TRIGONOMETRÍA

La palabra Trigonometría procede de las voces griegas tri-gonon-metron, que significa “medida de tres ángulos”. El objetivo prioritario de esta rama de las Matemáticas es el estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros.

• Astronomía
  Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...

• Artillería
  ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón?

• Cartografía
  Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

• Construcciones
  Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

• Navegación
  Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Midiendo la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = Dtgθ). El ángulo se puede medir con exactitud utilizando unteodolito (instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales). Pero también se puede hacer uno con un transportador de ángulos, cilindro hueco (podria ser la parte que recubre un lapicero) y una plomada (hecha con algun peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador; luego fijamos el cilindro a lo largo de la base del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

Línea de visión

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

Función Exponencial

Se aplica a la química y  física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial  y se dice que el elemento decrece o decae.
En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log [H+], donde  [H+] es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro.  El PH del agua destilada es 7.  Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice  que es base.  Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación  de las funciones exponencial  fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por  Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo  y t es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población  en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt  era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre.  Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).